Probabilité de transition \(\nu\) de \((E,\mathcal E)\) dans \((F,{\mathcal F})\)
Fonction \(\nu:E\times {\mathcal F}\to[0,1]\) qui est mesurable sur sa première variable et qui est une Mesure de probabilité sur sa deuxième variable. $$\begin{align}\forall x\in E,\quad &A\mapsto \nu(x,A)\text{ est une probabilité sur }(F,{\mathcal F})\\ \forall A\in{\mathcal F},\quad&x\mapsto\nu(x,A)\text{ est }\mathcal E\text{-mesurable}\end{align}$$

• si \(\gamma\) est une mesure de probabilité sur \(E\) et qu'on pose \(\mu(A)=\) \(\int_E\gamma(dx)\nu(x,A)\), alors \(\mu\) est une mesure de probabilité sur \(F\)
• si \(h\) est mesurable et positive/bornée, alors \(x\in F\mapsto\int_{[0,+\infty]}\nu(x,dy)h(y)\) est mesurable et positive/bornée

Questions de cours

START
Ω Basique (+inversé optionnel)
Recto: Donner un exemple de probabilité de transition discrète.
Verso:

Bonus:
Carte inversée ?:
END
START
Ω Basique (+inversé optionnel)
Recto: Donner un exemple de probabilité de transition continue.
Verso:

Bonus:
Carte inversée ?:
END

Démontrer 1) :

On a la \(\sigma\)-additivité par \(\sigma\)-additivité de \(\nu(c,\cdot)\).

On vérifie que la mesure globale est bien \(1\) pour \(A=F\).

Démontrer 2) :

(si \(h\) est mesurable et positive/bornée, alors \(x\in F\mapsto\int_{[0,+\infty]}\nu(x,dy)h(y)\) est mesurable et positive/bornée)

Ok pour indicatrice \(\to\) ok pour les étagées par linéarité \(\to\) ok globalement par TCM